C/C++ Forum :: Konvergenzbeweis

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Hi,

wie würde man beweisen, dass

§$\frac{n^2 + n + 2}{4n^3 + 1}$§

gen 0 strebt?

Mein ganz grober Ansatz wäre, die Sache irgendwie mit dem Satz von Eudoxos abzuschätzen, also es gibt ein n_0 mit 1/n_0 < ε.

Vielleicht kann mir jemand helfen, meine Gedankenfetzen zu ordnen.

Also, sei ε > 0 vorgegeben.
Zu zeigen ist:

§$| \frac{n^2 + n + 2}{4n^3 + 1} < \epsilon |$§

4n^3 + 1 > 4n^3, somit ist:

§$| \frac{n^2 + n + 2}{4n^3 + 1} | < | \frac{n^2 + n + 2}{4n^3} | = | (n^2 + n + 2) * \frac{1}{4n^3} | $§

1/4n^3 könnte ich nun mit Archimedes/Eudoxos nach oben abschätzen. Was mache ich aber mit dem geklammerten Ausdruck davor? Kann ich den irgendwie mit meinem Epsilon verrechnen?

Ihr merkt, bin noch recht unerfahren, was Konvergenzbeweise angeht. Für'n Schieber in die richtige Richtung wäre ich dankbar.

SideWinder Moderator 16:47:02 30.08.2010 Titel:

Wenn du Zähler und Nenner durch n² dividierst. Sollte das eigentlich trivialerweise zu sehen sein, da der Zähler dann gegen 0 und der Nenner gegen unendlich geht.

Weiß aber nicht ob das als Beweis durchgeht

MfG SideWinder

Unregistrierter

Hey SideWinder,

Danke für die Antwort.

Leider würde solch ein "Beweis" bei uns als unzureichend abgestraft werden - muss schon irgendwie mit den Axiomen der reellen Zahlen bewiesen sein, bzw. mit dem, was aus den Axiomen so standardmäßig hergeleitet wird.

Michael E. Mitglied 17:20:28 30.08.2010 Titel:

Nur mal nicht so zimperlich mit den Abschätzungen

Für n ≥ 1 gilt:

§$\frac{n^2 + n + 2}{4n^3 + 1} \leq \frac{n^2 + n^2 + 2n^2}{4n^3} = \frac{1}{n}$§

Edit: Bei solchen Abschätzungen kann man oft sehr brutal vorgehen. Man sollte sich zuerst überlegen, ob der Term konvergiert oder nicht, und dann den Term in Relation zu bekannten Ausdrücken darstellen, wie ich es oben mit 1/n gemacht habe. Bemühungen, die Abschätzungen möglichst exakt zu machen, werden anfangs eher bestraft durch deutlich kompliziertere Rechnungen.

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Wow, sehr einfacher Beweis. Natürlich, da hätte ich selbst drauf kommen können. Ich muss das jetzt noch ein wenig üben, vermutlich melde ich mich nochmal mit einer anderen Aufgabe :rolleyes:

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Achja und vielen Dank, Michael E.

YASC Mitglied 09:23:21 31.08.2010 Titel:

Wenn du Lust hast, kannst du auch beweisen, dass für Nullfolgen §$(a_n), (b_n)$§ und eine bestimmt divergente Folge §$(c_n)$§ gilt:

§$\lim_n a_n b_n = 0$§
§$\lim_n \frac{1}{c_n} = 0$§

Daraus würde sofort dein Problem und noch eine ganze Reihe weiterer Sachen folgen. Wäre also praktisch, das zu wissen

Zenzen Mitglied 17:33:25 02.09.2010 Titel:

Michael E. schrieb:

Nur mal nicht so zimperlich mit den Abschätzungen

Für n ≥ 1 gilt:

§$\frac{n^2 + n + 2}{4n^3 + 1} \leq \frac{n^2 + n^2 + 2n^2}{4n^3} = \frac{1}{n}$§

Hab ich Konvo Gonzis Aufgabe falsch gelesen, oder wo stehts das der
Zahlenbereich n ≥ 1 genügt?.

grüsse

Bashar Mitglied 17:58:52 02.09.2010 Titel:

Das ist offensichtlich eine Folge, d.h. n ist eine natürliche Zahl, und man fragt sich, ob diese Folge konvergiert. Da für diese Frage endliche Anfangsabschnitte keine Rolle spielen, kann man auch n >= 1 voraussetzen.