C/C++ Forum :: Dass x gerade ist, ist notwendig dafür, dass x durch 12 teilbar ist...

/rant/ Mitglied 16:59:37 18.01.2012 Titel:

Ich lese gerade folgendes und habe ein wenig Mühe: Beweisen oder widerlegen Sie: Dass x gerade ist, ist notwendig dafür, dass x durch 12 teilbar ist.

A: x ist gerade.
B: x ist durch 12 teilbar.

(B ⇒ A) ⇔ (¬A ⇒ ¬B)

Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?

Michael E. Mitglied 17:07:00 18.01.2012 Titel:

Naja, du hast du Aussage ja nur ein wenig umgeformt. Ein Beweis würde eher so aussehen:

§12 | x \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} : 12n = x \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} : 2(6n) = x \Rightarrow 2 | x§

/rant/ Mitglied 17:15:35 18.01.2012 Titel:

Nun, dann habe ich das Problem also schon erkannt. Was hier als Beweis verkauft wird ist gar kein Beweis; da fehlt noch einiges. Danke.

ipsec Mitglied 22:16:58 18.01.2012 Titel:

Mitnichten. Die Aussage A => B ist äquivalent zu ¬B => ¬A.
Das folgt aus A => B <=> ¬A v B <=> ¬¬B v ¬A <=> ¬B => ¬A.

Michael E. Mitglied 22:58:26 18.01.2012 Titel:

ipsec: Ja und? Jetzt hast du die zu zeigende Aussage durch eine genauso schwere Aussage ersetzt.

ipsec Mitglied 23:05:12 18.01.2012 Titel:

Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.

knivil Mitglied 23:15:01 18.01.2012 Titel:

Also eine der beiden Fragestellungen muss aber trotzdem bewiesen werden, sei es nun (B => A) oder (nicht A => nicht B). Wenn beide falsch sind, dann stimmt die Aequivalenz trotzdem.

icarus2 Mitglied 23:16:43 18.01.2012 Titel:

ipsec schrieb:

Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.

Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
§B \implies A§
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.

/rant/ Mitglied 00:13:39 19.01.2012 Titel:

ipsec schrieb:

Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.

Die Frage ist ja, ob es reicht oder nicht. Jeder versteht die Bedeutung von (B ⇒ A) und die Regeln, weshalb die Äquivalenz zu (¬A ⇒ ¬B) gilt, sind auch klar. Nur ist (¬A ⇒ ¬B) als solches für mich gleichwertig zu (B ⇒ A) in dem Sinne, dass sich die Frage stellt, warum es plötzlich als Beweis ausreichen sollte. Oder muss man hier die versteckte Aussage sehen, dass keine ungerade Zahl durch eine gerade Zahl teilbar ist?

Bitte ein Bit Mitglied 10:53:47 19.01.2012 Titel:

Vielleicht würde ein Wiederspruchbeweis hier helfen:

Annahme: Dass x gerade ist, ist nicht notwendig dafür, dass x durch 12 teilbar ist. -> Behauptung: x ist durch 12 teilbar aber nicht gerade

Nehmen wir an x sei durch 12 teilbar. Dann wissen wird das x ein vielfaches von 12 ist und wir können schreiben x = 12*n, was man auch als x=2*2*3*n schreiben kann. Gemäß der Definition von geraden Zahl wissen wir das die Primfaktorzerlegung von geraden Zahl immer eine 2 enthalten, voraus wir schließen können das x immer gerade ist, was ein Wiederspruch zu Annahme ist.

Jester Moderator 11:10:42 19.01.2012 Titel:

icarus2 schrieb:

ipsec schrieb:

Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.

Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
§B \implies A§
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.

Seit wann muß eine Aussage wahr sein, damit man sie äquivalent umformen kann?

icarus2 Mitglied 13:53:23 19.01.2012 Titel:

Jester schrieb:

icarus2 schrieb:

ipsec schrieb:

Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.

Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
§B \implies A§
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.

Seit wann muß eine Aussage wahr sein, damit man sie äquivalent umformen kann?

Ich habe mich da falsch ausgedrueckt. Ich meinte damit nicht, dass man die Implikation fuer die Umformung beweisen muss sondern dass man A ==> B beweisen muss, damit man die Wahrheit der Aussage im Beweis verwenden kann. Ansonsten hat man durch die Umformung bloss zwei aquivalente Formeln, ueber deren Wahrheitswert man nichts weiss.

Unregistrierter

Wäre es hinreichend, so wäre jede gerade Zahl (in den natürlichen zahlen) durch 12 teilbar. Das ist offensichtlich falsch(z.B. 10)

Ist eine Zahl durch 12 teilbar, so lässt sie sich gemäß der Definition von teilbarkeit als

n = k*12 mit n und k element aus N schreiben.
Nun ist 12 identisch 6*2, also n = 6*k*2, was wiederumg der Definition einer geraden Zahl entspricht. Also ist jede durch zwölf teilbare Zahl gerade und die Umkehrung ist im allgemeinen Falsch, was der Definition von "notwendig" entspricht.

Michael E. Mitglied 23:35:16 20.01.2012 Titel:

Namenloser342 schrieb:

Also ist jede durch zwölf teilbare Zahl gerade und die Umkehrung ist im allgemeinen Falsch, was der Definition von "notwendig" entspricht.

Seit wann darf eine notwendige Bedingung nicht hinreichend sein?