Hallo,
ich hab in Mathe ja im moment Gruppen, Ringe, Körper und diesen kram. Leider hab ich so meine schwirigkeiten damit. Was eine Gruppe ist, versteh ich ja noch, aber was ein Ring ist und wofür ich den brauch, will mir einfach nicht klar werden.
Wäre schon, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. Achja, den Wikipedia Artikel kenn ich, bevor ihr mich dahin verweisen wollt.
Ich hoffe das kommt jetzt nicht so rüber, dass ich zu faul zum suchen bin und es mir daher lieber von jemandem erklären lassen will. Ich kann damit bloß nichts anfangen.
Denk mal an die ganzen Zahlen. Da kann man addieren, subtrahieren und multiplizieren, aber nicht (oder zumindest nicht immer) dividieren. Ringe sind eine Abstraktion genau davon: Man kann addieren, subtrahieren und multiplizieren, aber im allgemeinen nicht dividieren.
Sagen Dir Polynome etwas? Die bilden auch einen Ring, aber keinen Körper.
Ziel davon ist es, sich vom konkreten Zahlenbegriff zu lösen. Dann kann man nämlich auch komplexere Objekte betrachten, ohne jedes Mal die grundlegenden Rechengesetze herleiten zu müssen. Das Polynombeispiel war schon gut: Wenn du gezeigt hast, dass die Polynome mit komponentenweise Addition und Faltung als Multiplikation die Ringaxiome erfüllt (also dass die Addition eine abelsche Gruppe bildet, die Multiplikation eine Halbgruppe und dass das Distributivgesetz gilt), dann gelten automatisch alle Rechengesetze die für alle Ringe gelten auch für die Polynome. Dann weißt du zum Beispiel, dass jedes Polynom ein Inverses bezüglich der Addition hat (also ein "Negatives") oder dass (−a) ⋅ b = a ⋅ (−b) = −(a ⋅ b) gilt, egal ob a und b nun Polynome, Ganzzahlen oder quadratische Matrizen sind.
Zuletzt bearbeitet von SeppJ am 18:20:57 02.02.2012, insgesamt 1-mal bearbeitet
Also, ich hab Ringe bisher so verstanden, dass sie so eine Art erweiterte Gruppe sind, mit einem zusätzlichen Rechenzeichen mehr. Zusätzlich zu den dem Assoziativgesetz und dem kommutativgesetz der (abelschen) Gruppe kommt bei Ringen auch noch das Distributivgesetz hinzu.
Ringe sind also im grunde genommen nur Mengen, auf die sich zwei Verknüpfungen (wie + und *) anwenden lassen, solange sie die Bedingungen(Assoziativgesetz, neutrales Element,...) nicht verletzen.
Bei Ringen kann ich doch auch angeben, für welchen Zahlenraum das gilt, oder?
Also ich mein z.B
z5 = {0,1,2,3,4}
oder
z10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (wobei ich mir hier grad unsicher bin, ob die 5 hier auch auftauchen würde)
Wie ich Sepp jetzt verstanden hab, versuch ich letztenendes nicht mehr mit zahlen, sondern mit "Objekten"/"Dingen" rechnen zu können. Daher fasse ich bestimmte Eigenschaften zusammen, und diese nennen sich dann Gruppen, Ringe, Körper, usw., damit ich mir die Rechengesetze nicht immer neu herleiten muss. Aber meine Rechenoperationen müssten dann doch auch undefiniert sein?!
Ja, Polynome sagen mir auch was, ich bin grad dabei, die Sachen zu wiederholen, da ich in ca drei wochen meine Klausur schreibe.
Ein Polynom war doch ein Term in dieser Form:
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Ich versteh jetzt nicht was die mit den Ringen zu tun haben.
Ich versteh jetzt nicht was die mit den Ringen zu tun haben.
nimm an du hast einen Ring R und Unbestimmte x1 ... xn.
Welche Ausdrücke kannst du aus R und x1 ... xn erzeugen, wenn du nur die Ringoperationen +, * benutzen darfst und mit x1 ... xn rechnen darfst wie mit Ringelementen ? Na eben genau die Polynome.
Beispiel eines aus R und x1 ... x2 irgendwie erzeugten Ausdrucks:
((x1+x2)*(x2+1))*x1
ausmultiplizieren => x1^2*x2+x1^2+x1*x2^2+x1*x2: das ist ein Polynom.
Und mehr als Polynome kannst du damit nicht erzeugen, denn schon zum Herstellen gebrochen-rationaler Funktionen wie 1/x braucht man Division, und die steht im Ring nicht zur Debatte.
Die Rechenoperationen sind nicht unbedingt die Addition und die Multiplikation die du kennst. Man nennt sie bloß so, weil sie sich wie die klassische Addition und die klassische Multiplikation verhalten, d.h. es gelten die gleichen Rechengesetze. Das wiederum folgt z.B. bei der Addition daraus, dass es eine abelsche Gruppe sein soll. Jetzt sieht du, wozu der Gruppenbegriff da ist.
Allgemein sind das bloß abstrakte Operationen, wo man zwei Elemente reinsteckt und man bekommt ein drittes heraus.
Für die Polynome definiert man das z.B. so:
Polynom 1: f1(x) = a1 + b1*x +c1*x^2 + d1*x^3 + ...
Polynom 2: f2(x) = a2 + b2*x +c2*x^2 + d2*x^3 + ...
(f1 + f2)(x) = (a1+a2) + (b1+b2)*x + (c1+c2)*x^2 + ...
Dann ist diese Addition wieder eine abelsche Gruppe. Du musst aber aufpassen:
Bei f1 + f2 steht das +-Zeichen für die Addition von Polynomen. Bei a1 + a2 steht das +-Zeichen für die Addition der Koeffizienten. Ich habe leider nicht so viele verschiedene +-Zeichen, um das kenntlich zu machen. Die a1 und a2 sind klassischerweise reelle Zahlen und deren Addition ist die Addition die du kennst. Aber auch hier können wir wieder ganz abstrakte Objekte nehmen, es reicht, wenn die Koeffizienten wiederrum Elemente aus einem Ring sind. Man kann also auch Polynome mit anderen Polynomen als Koeffizienten haben. Und da deren Addition sich genauso verhält wie die Addition der reellen Zahlen, ist dann auch die Addition dieser Polynome der Polynome eine Addition mit den gleichen Rechengesetzen, also gilt z.B. f1 + f2 = f2 + f1.
Das gleiche kann man dann auch noch mit der Multiplikation machen, ist aber etwas komplizierter.
Zuletzt bearbeitet von SeppJ am 19:11:02 02.02.2012, insgesamt 1-mal bearbeitet
Und mehr als Polynome kannst du damit nicht erzeugen, denn schon zum Herstellen gebrochen-rationaler Funktionen wie 1/x braucht man Division, und die steht im Ring nicht zur Debatte.
Also bräuchte ich wenn ich dividieren möchte einen Körper. Und ein Körper ist von den Eigenschaften her ein Ring, mit dem Unterschied, dass bei der Multiplikation von der Menge die 0 nicht enhalten sein darf.
So langsam wirds klarer denk ich. Scheint sich halt auf Definitionen zu beschränken, die man lernen muss.
Da wir gerade schon bei der Multiplikation von Polynomen sind, ich hab grad in meinen Unterlagen nachgeschaut und hab da auch eine Frage zu:
Wir hatten dazu eine Übungsaufgabe, in der sich unser Ring R auf Z5 beschränkt.
Das Produkt der beiden Polynome haben wir über die Schulmethode berechnet(Wie gesagt, der andere Weg ist komplizierter).
f1 = 3x^3 + 1x^2 + x + 2
f2 = 4x^2 + 2x + 1
f1f2 = 2x^5 + 4x^3 + x^2 + 2
So, ich hoffe, ich hab bei dem Beispiel jetzt keinen Fehler gemacht. Wie mach ich das jetzt aber, wenn sich Z auf einen Zahlenbereich bezieht, der größer als 9 ist, z.B Z14?
Normalerweise nimmt man bei der Multiplikation ja nur den Wert kleiner als 10 und schreibt die 1 über den Strich in der nächsten Spalte. Das darf man hier nun nicht machen, oder?
Und wie würde es aussehen, wenn ich nun irgenwo ein Minuszeichen hätte?
Ringe sind ein Abstraktes Konzept, eine Schnittstellendefinition. Im Grunde ist das nicht viel anders als die Definition eines STL-Containers:
http://www.sgi.com/tech/stl/Container.html
Du weißt, wenn eine Klasse all diese Anforderungen genügt, dann ist sie ein STL-Container und kann überall dort verwendet werden, wo drüber steht. "hier nur STL-Container verwenden".
Im Grunde sind diese ganzen Konzepte der Gruppentheorie: Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, Algebren nichts anderes als das. Ihre Abhängigkeiten sind dabei konzeptionell ähnlich wie die Iterator-Hierarchie der STL (input<forward< bidirectional<random-access iterator). Wenn dir also jemand sagt: "dieses Ergebnis gilt für einen Ring" weißt du: "Okay, sobald mein Ding die Eigenschaften eines Rings erfüllt, dann gilt das Ergebnis schon dafür". Konkret kannst du mit einem Ring eine ganze Menge Dinge tun, aber du musst halt noch etwas aufpassen, weil er noch nicht alle schönen Eigenschaften eines Körpers hat.
Diese Kategorien sind damit nur eine Vereinfachung: wenn du ein Ergebnis für einen beliebigen Ring zeigst, gilt es automatisch für alle.
Ein weiteres Beispiel für einen Ring ist nebenbei der Raum der nxn-Matrizen :
Du kannst zwei Matrizen problemlos addieren, auch kommutativ (abelsche Gruppe), bei der Multiplikation gilt Assoziativität, das Distributivgesetz gilt auch, aber du hast keine multiplikative inverse (In der Tat ist das ganze ein "kommutativer Ring mit Eins" UND ein Vektorraum -> Algebra)
_________________ Jesus Christus! Da blickt ja kein Mensch mehr durch.
Zuletzt bearbeitet von otze am 22:36:22 02.02.2012, insgesamt 1-mal bearbeitet
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