c++.de :: Lineare Abhängikeit Vektoren (und ähnliches)

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Guten Abend Forum,

ich bin gerade hier ein bisschen an (Schul)Mathematik-Aufgaben am Arbeiten, und mir stellt sich folgende Frage : Zur Überprüfung von linearer Abhängigkeit von zB 3 Vekotren gibt es ja mehrere Möglichkeit, ich persönlich benutzt immer die Determinante. Aber mal eine Frage, die sich mir so am Rande stellt ... reicht es eigentlich nicht, wenn ich Vektor a, b unc c habe, sich a als beispielsweise 2*b darstellen lässt?

Generell gilt ja : Wenn ich für diese Gleichung eine Lösung finde, ist a linear abhänig von b und c ( und dadurch auch automatisch die beiden anderen, oder nicht ? ) : a = A*b + B*c. Nun, beispielweise a = (1/2/3) und b = (2/4/6), könnte ich doch einfach schreiben : b = 2*a + 0*c . Super, jetzt hab ich eine Linearkombination und die drei Vektoren sind voneinander abhänig ?!

Ich hoffe die Frage ist klar ;P

P.S : "Und ähnliches" im Titel weil ich wohl im Verlufe des Abends noch ein paar Fragen zum Thema Ebenen und Geraden im Raum haben werde und nicht jedes mal einen Thread öffnen will.

Mfg und danke schonmal !

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Wenn ich mal eine These dazu aufstellen darf : Was ich geschrieben habe ist nicht legitim, weil man die Gleichung nicht nach dem Vektor c auflösen könnte ? Fällt ja eigentlich raus, oder eben teilen durch 0 -> illegal. Geht es deswegen nicht ?

icarus2 Mitglied 21:02:14 22.04.2012 Titel:

Ja, wenn du zeigen moechtest, dass drei Vektoren linear abhaengig sind reicht es zu zeigen, dass a = A*b + B*c gilt, d.h. a ist eine Linearkombination von b unc c. Natuerlich ist b dann auch eien Linearkombination von a und c, da gilt b = 1/B*a - A/B*c

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Generell dazugesagt gilt aber dann, dass A und B in der Gleichung nicht 0 sein dürfen ?

icarus2 Mitglied 21:47:50 22.04.2012 Titel:

Frage!! schrieb:

Generell dazugesagt gilt aber dann, dass A und B in der Gleichung nicht 0 sein dürfen ?

Wenn A bzw. B 0 ist, dann faellt A*b bzw. B*c onehin weg, das heisst wenn A = 0 gilt, dann hat man nur noch a = B*c.

cooky451 Mitglied 21:59:09 22.04.2012 Titel:

A und auch B dürfen 0 sein, der Nullvektor (0, 0, 0, ...) ist zu allen Vektoren linear abhängig.
Beispiel für drei nicht linear abhängige* Vektoren: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

* Sogar völlig unabhängige, kein Vektor ist hier durch einen anderen darstellbar.

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Verstehe ich dann nicht. Wenn A und B 0 sein dürfen, kann mir doch völlig egal sein wie der 3. Vektor aussieht, sofern sich der Vektor a so darstellen lässt a = C*b, wobei C element R ist. Hab ich also Vektor (1/2/3) und (2/4/6) und (v1/v2/v3) sag ich einfach, ohne Determinate auszurechnen oder sonst was : Ja die sind linear abhängig, denn (1/2/3)*2 = (2/4/6) . Ohne überhaupt v1,v2 und v3 zu kennen ?!

icarus2 Mitglied 22:26:22 22.04.2012 Titel:

Frage!! schrieb:

Verstehe ich dann nicht. Wenn A und B 0 sein dürfen, kann mir doch völlig egal sein wie der 3. Vektor aussieht, sofern sich der Vektor a so darstellen lässt a = C*b, wobei C element R ist. Hab ich also Vektor (1/2/3) und (2/4/6) und (v1/v2/v3) sag ich einfach, ohne Determinate auszurechnen oder sonst was : Ja die sind linear abhängig, denn (1/2/3)*2 = (2/4/6) . Ohne überhaupt v1,v2 und v3 zu kennen ?!

Ja. Du musst eifach zeigen, dass ein Vektor eine Linearkombinatin der anderen Vektoren ist. Also Faktor in der Linearkombination ist auch 0 erlaubt.

lustig Mitglied 22:28:50 22.04.2012 Titel:

Die 3 Vektoren sind ja dann auch nicht unabhängig. Bei deinem Beispiel ist auch die Determinante 0. Egal was v1,v2 und v3 sind.
Edit: zu langsam...

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cooky451 schrieb:

* Sogar völlig unabhängige, kein Vektor ist hier durch einen anderen darstellbar.

Entweder eine Familie von Vektoren ist linear unabhängig oder sie ist es nicht. Da gibt's nichts dazwischen.