c++.de :: Schnitt kompakter Mengen

otze Mitglied 11:00:56 16.06.2012 Titel:

Hey,

Ich war in den letzten 2 Wochen faul und habe gerade Probleme wieder in den Stoff zu kommen. Kann vielleicht jemand drüber schauen und mir sagen, ob der Beweis so richtig ist?

Aufgabe:
Es sein §(E, \Vert \cdot \Vert)§ ein normierter Vektorraum und §(K_n)_{n\in \mathbb{N}}§ eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen in E mit §K_{n+1} \subset K_n§. Man zeige, dass §K:=\cap_n^{\infty}K_n \neq \emptyset§.
Fall 1: Falls ein n existiert, so dass §K_{n+p}=K_n§ für alle p, ist die Aussage erfüllt mit K=K_n.

Fall 2: Für alle n existiert ein p, so dass §K_{n+p}\neq K_n§
=> alle K_n besitzen unendlich viele Elemente.

K ist Kompakt, da §K_1§ bereits kompakt nach Annahme ist. Da E ein normierter Vektorraum ist, ist K Folgenkompakt und jede Folge in K besitzt einen Häufungspunkt in K.

Betrachte Folge §(x_i)_{i \in \mathbb{N}}§ mit §x_i \in K_i§. Da alle K_n Kompakt, besitzt die Teilfolge §(x_i)_{i > n}§ einen Häufungspunkt in K_n. Da dies für alle K_n gilt=> Häufungspunkt der Folge ist in K => K nicht leer.

Oder denke ich zu kompliziert?