c++.de :: Exponentialfunktion... Wozu? oO

Mis2com Mitglied 19:02:45 21.12.2003 Titel:

Hallo,

was bringt die?

man kann eine Potenz mit einer Exponentialfunktion und einem natürlichen Logyrithmus darstellen, das weiß ich.
Aber wozu gibt es das Vieh? Was soll man mit e anfangen?
Ich weiß nur noch, dass die Funktion anscheinend komplex ist.

Ich weiß auch wie e berechnet werden kann, aber wozu dies alles? ^^

MfG MAV

Jan Mitglied 19:38:11 21.12.2003 Titel:

e^x ist abgeleitet wieder e^x. Das dürfte das wichtigste an dem ganzen sein.

Griffin Mitglied 19:39:34 21.12.2003 Titel:

schau dir zB chemische Reaktionen an. Die verlaufen recht oft exponentiell. oder zinsrechnung (eher blödes beispiel..-> zuwächse von geld etc.) oder zerfallsprozesse.
in der praxis gibts recht viele beispiel dafür.

und die eulersche zahl..hmm...ich glaub das nimmt man wenn man bei einer e-funktion irgendwie approximieren muss :confused:

aber das ist bestimmt müll. bitte um berichtigung *g*

Mis2com Mitglied 19:44:31 21.12.2003 Titel:

Und wieso ist e^x abgeleitet wieder e^x?

f(x) = e^x
f(x)'= x*e^(x-1)

ist ja anscheinend falsch...

Griffin Mitglied 19:52:41 21.12.2003 Titel:

f(x)=e^x
f'(x)=e^x*ln e was e^x*1 entspricht.

ansonsten
f(x)=a^x (a!=1;a € |R; a>0)
f'(x)=a^x*ln a

Christoph Moderator 19:55:41 21.12.2003 Titel:

Mis2com schrieb:

f(x) = e^x
f(x)'= x*e^(x-1)

ist ja anscheinend falsch...

Ist es nicht, wenn du anstelle f(x) f(e) schreibst. Diese Regel zum Ableiten gilt nur bei konstantem Exponenten.

Taurin Mitglied 20:28:35 21.12.2003 Titel:

Man kann f: x -> e^x auch als Reihe darstellen
f: x -> [summe k = 0 bis undenlich(x^k / k!)]
Darauf kannst du die "normalen" Ableitungsregeln anwenden. Versuchs mal

Mis2com Mitglied 21:08:46 21.12.2003 Titel:

f: x -> [summe k = 0 bis undenlich(x^k / k!)]

§f: x \rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty}{x^k \over k!}§

So?
Aber leider weiß ich nicht, wie man in sowas ableiten soll. :-/

Griffin Mitglied 21:16:10 21.12.2003 Titel:

Ich hab da noch eine Art Beweis mit Differenzenquotient, Differenzialquotient und Grenzwertübergang. Wenn du den mal sehen willst würd ich den nachher mal posten.
Aber erstmal Kevin allein zu Haus schauen

lustig Mitglied 21:18:08 21.12.2003 Titel:

Hier mal ein (dummes) Beispiel wo man die Eulerfunktion brauchen kann:
Du hast Geld bei der Bank. Sie zahlt dir die Zinsen jährlich, aber du würdest natürlich mehr Geld bekommen, wenn sie dir halbjährlich die halben Zinsen zahlen würde (wegen Zinseszinsen). Die Frage ist nun, wohin strebt das, wenn die Zinsen immer öfters ausbezahlt würden (Täglich, pro Minute, Sekunde).
Für einmal pro Jahr gilt:
K=K₀*(1+p), K₀ ist das Anfangskapital
Halbjährlich:
K=K₀*(1+p/2)²
Allgemein:
K=K₀*(1+p/n)ⁿ

Wenn man sich diese Formel ansieht, kann man nicht sagen wohin sie für n→∞strebt, gegen unendlich wegen dem ^n oder gegen 1 wegen dem p/n. Es ist nun so, dass diese Formel für grosse n gegen K₀*e^p strebt. Wie man hier sieht, kommt das e rein, sobald die Zinsen nicht mehr "abgehackt" jede Sekunde oder so gezahlt werden, sondern kontinuierlich, die ganze Zeit. In der Natur und der Technik ist es oftmals so, dass gewisse Vorgänge, ähnlich dem im Beispiel, kontinuierlich ablaufen. Deshalb gibt es auch da in vielen Formeln die Euler'sche Zahl.

Ich weiss, es war ein etwas praxisfremdes Beispiel, aber ich hoffe ich konnte etwas zeigen, wieso es in einigen Fällen ausgerechnet e^x heisst und nicht 2^x oder 3^x.

EDIT:
Wenn du diese Summenformel ableiten möchtest, solltest du die ersten Paar Glieder ausschreiben, 1+x+x^2/2+x^3/6 und so weiter, und dann ableiten, du wirst sehen, dass das gleiche rauskommt. Aber normalerweise beweist man, dass e^x abgeleitet e^x gibt mit Differentialquotient, Differenzenquotient und Grenzübergang.