C/C++ Forum :: Beweis von 3 teilt b, dann 9 teilt b mit Kontraposition

W0lf Mitglied 18:35:41 08.02.2010 Titel:

Hallo,

ich versuche mich gerade an einfachen mathematischen Beweisen und hänge bei folgendem schon fest:

Code:
Wenn 3 kein Teiler von b ist, dann ist 9 kein Teiler von b.

Code:
Wenn 3 kein Teiler von b ist, dann ist 9 kein Teiler von b.

Code:
Wenn 3 kein Teiler von b ist, dann ist 9 kein Teiler von b.

Beweis mittels Kontraposition ist dann:

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

9 teilt b impliziert doch, dass 3 b teilt. Ja und 3*3 = 9, aber irgendwie weiß ich jetzt nicht, wie ich weitermachen muss.

Vielen Dank schonmal

SeppJ Moderator 18:45:04 08.02.2010 Titel:

Gaaannnzzz ausführlich:

(A) Definition der Teilbarkeit: Wenn a ein Teiler von c ist, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c
(B) 3*3=9
(C) Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich *

Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.
Mittels (B) folgt: e*3*3=d
Laut (C) ist e*3=f eine natürliche Zahl. Es gilt f*3=d
Nach (A) gilt daher: 3 ist ein Teiler von d

drakon Mitglied 21:00:39 08.02.2010 Titel:

So ausführlich ist es nicht.

Und vor allem benutzt du da die Kommutativität bzg. *, was du nicht sagst, dass es gilt (natürlich gilt es), aber auch gar nicht nötig ist, wenn du den Beweis korrekt führst:

Das hier ist schon falsch:

Zitat:

Aus (A) folgt: Wenn 9 ein Teiler von d ist, dann gibt es eine natürliche Zahl e, so dass e*9=d.

eher: 9*e=d sonst weichst du bereits von der Definition ab.

Zitat:

Mittels (B) folgt: e*3*3=d

Wird zu 3*3*e=d

und das zu: 3*f=d

und somit ist 3 ein Teiler von d.

Wie du siehst wird die Kommutativität von * nicht benutzt.

Mag kleinkrämerisch wirken, aber das korrekte anwenden der Definitionen ist essentiell, ansonsten ist der Beweis genau so falsch, wie wenn du sagst "ja, ist doch klar".

/EDIT
@W0lf:
Halte dich immer exakt an die Definitionen. Vor allem dann, wenn dir alles klar erscheint musst du dich komplett auf die Definitionen zurück ziehen und diese benutzen und rein gar nichts einfach mal so als gegeben annehmen. (Wenn man z.B Teilbarkeit für Matrizen definieren will ist der Fehler, der oben gemacht wurde verheerend).

SeppJ Moderator 21:20:21 08.02.2010 Titel:

drakon hat natürlich vollkommen Recht. Merke: Auch wenn etwas unglaublich einfach aussieht, sollte man trotzdem sorgfältig arbeiten.

Unregistrierter

W0lf schrieb:

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

Code:
Wenn 9 ein Teiler von b ist, dann ist 3 ein Teiler von b

Aus 3|9 und 9|b folgt 3|b
Beweis: 9 = q*3, b = p*9 --> b = p*(q*3) = (p*q)*3 --> 3|b

drakon Mitglied 21:53:06 08.02.2010 Titel:

Auch du benutzt hier Kommutativität, sowie auch Assoziativität. Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.
btw:
Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

Unregistrierter

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

drakon schrieb:

Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?

drakon Mitglied 22:33:57 08.02.2010 Titel:

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

Nein. Folgt aus A.

Zitat:

drakon schrieb:

Du hättest eher den Doppelpfeil nehmen sollen, weil sonst ist es eher eine Aussage (Implikation), aber ob sie jetzt wahr oder falsch ist steht da jetzt noch nicht.

Sie ist nur dann wahr, wenn 3|9 und 9|b. Fehlt Dir der Beweis für 3|9 ?

Ich meinte da eher die syntaktische Feinheit. -> steht für Implikation. => steht für eine Implikation, die wahr ist (aka Folgerung). Bsp:
(1) a->b ( := ¬a v b )
(2) a=>b ( := a->b ist wahr )
Bei (1) kann ich nichts über die Wahrheitswerte von a und b sagen. Bei (2) weiss ich, dass wenn a wahr ist auch b wahr sein muss.

W0lf Mitglied 22:45:21 08.02.2010 Titel:

Danke.

Die Diskussion, die darum jetzt entstanden ist, hilft auch ungemein zum Verständnis :-) (Nein, keine Ironie)

Unregistrierter

drakon schrieb:

Dragoner schrieb:

drakon schrieb:

Ich halte den Beweis von SeppJ für besser, weil er auf weniger Annahmen basiert und daher allgemeiner ist.

3*3=9 ist keine Annahme?

Nein. Folgt aus A.

Nein, A, die Definition der Teilbarkeit, ist allgemein. Wenn a (≠0, was er vergessen hat) c teilt, dann gibt es eine natürliche Zahl b, so dass a*b=c Das sagt nichts über den konkreten Fall 3|9 aus. Hätte er es sonst hinschreiben müssen?