c++.de :: Polardarstellung

freakC++ Mitglied 15:02:38 13.05.2012 Titel:

Hallo ihr alle

Seid mir nicht böse, falls diese Frage wahrscheinlich eine allzu offensichtliche Antwort hat, aber ich sehe sie einfach nicht.

Kann mir jemand sagen, warum die komplexe Zahl §e^{i\alpha}§ immer die Länge 1 hat?

Danke

LG, freakC++

dot Mitglied 15:08:21 13.05.2012 Titel:

§e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha)§

und damit

§|e^{i\alpha}| = \sqrt{\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2} = 1§

freakC++ Mitglied 16:22:05 13.05.2012 Titel:

Hallo dot,

vielen Dank für deine Antwort, die mir natürlich einleuchtet. Ich habe noch ein anderes Problem. Ich möchte gerne die folgende Beziehung zeigen:

§sin(x+yi) = sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y)§

Dazu weiß ich, dass folgendes gilt: §sin(z) = \frac{1}{2i} \cdot (e^{iz} - e^{-iz})§

Nun habe ich schon einiges gerechnet, aber auf die obige Gleichung komme ich nicht. Könnt ihr mal nachsehen und mir einen Tipp geben?

§sin(x + iy) = \frac{1}{2i}(e^{i(x+iy)} - e^{-i(x+iy)})§
§= \frac{1}{2i}(cos(z) + sin(z) - e^{-i(x+iy)})§
§= \frac{1}{2i}(cos(z) + sin(z) - e^{-ix} + e^y)§

und nun? Ich bitte um Rat

Vielen Dank
LG, freakC++

dot Mitglied 16:31:51 13.05.2012 Titel:

Du kannst §e^{iy}§ herausheben

freakC++ Mitglied 17:07:38 13.05.2012 Titel:

dot schrieb:

Du kannst §e^{iy}§ herausheben

Was genau meinst Du mit herausheben? Ich bin das ganze noch einmal ganz anders drangeganegn und es fliegt §e^y§ heraus, aber nicht §e^{iy}§.

§sin(z) = sin(x+yi) = \frac{1}{2i}(e^{i(x+yi)} - e^{-i(x+yi)}§
§= \frac{1}{2i}(e^{ix} + e^{-y} - e^{-ix} + e^y)§
§= \frac{1}{2i}(e^{ix} + e^{-ix})§

Aber wie kann dieser Ausdruck bitte sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y) sein? Mein y ist doch jetzt weg!

Vielen Dank

edit: Wartet

. Ich habe einen Fehler gemacht, denn e^y + e^-y ergibt 1 und nicht 0. Vielleicht lässt sich dann da was mit dem Pythagoras machen...

freakC++ Mitglied 17:26:53 13.05.2012 Titel:

Hallo zusammen,

ich habe es herausbekommen. Der Pythagoras hilft hier nicht weiter. Es müssen nur stupide die bereits bekannten Additionstheoreme angewendet werden. Dabei kommen Ausdrücke wie sin(yi) bzw. cos(yi) raus, die wiederum die hyperbolischen Funktionen darstellen.

Fertig

Danke
LG, freakC++

dot Mitglied 20:47:49 13.05.2012 Titel:

Sry, das mit dem Herausheben war Schwachsinn, da hab ich mich verschaut.
Ein wesentlicher Fehler den du da oben immer gemacht hast ist, dass §e^{x+y}§ nicht gleich §e^x + e^y§ ist, sondern §e^x e^y§ und §e^y + e^{-y}§ ergibt weder 1 noch 0...

Wenn du nur beweisen sollst dass die Beziehung gilt, dann kannst du auch einfach die entsprechenden Identitäten

§\begin{align}
\sin(x) &= \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) \\
\cos(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{ix} + e^{-ix}) \\
\sinh(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{-x}) \\
\cosh(x) &= \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{-x})
\end{align}§

einsetzen, ausmultiplizieren und fertig:

§\begin{align}
\sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y) &= \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) \frac{1}{2} \cdot (e^{y} + e^{-y}) + i \frac{1}{2} \cdot (e^{ix} + e^{-ix}) \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{-y}) \\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{2i} ((e^{ix} - e^{-ix})(e^{y} + e^{-y}) - (e^{ix} + e^{-ix})(e^{y} - e^{-y})) = \ldots = \sin(x + i y)
\end{align}§

knivil Mitglied 20:54:54 13.05.2012 Titel:

Zitat:

bereits bekannten Additionstheoreme angewendet werden

Nein, einfach in die Darstellung mit e wechseln. Additionstheoreme muessen ja auch irgendwie bewiesen werden. Ich fuer meinen Teil fand es in Klausuren so einfacher als staendig mit den Additionstheoremen durcheinanderzukommen.