4. Spektraldarstellung

Spektraldarstellung

  • I

    Ich habe eine Basis eines 3-d Raums:
    {∣1⟩,∣2⟩,∣3⟩}\{ \mid 1\rangle, \mid 2\rangle, \mid 3\rangle \} und den dualen Raum mit:
    {⟨1∣,⟨2∣,⟨3∣}\{ \langle 1\mid, \langle 2\mid , \langle 3\mid \}

    In dieser Basis habe ich eine Matrix:
    (01010i0−i0)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \end{pmatrix}

    Jetzt will ich die Matrix als Summe der Form ∣j⟩⟨i∣\mid j \rangle \langle i\mid schreiben.

    Dann erhalte ich doch etwas der Form: A=∑ijAij∣i⟩⟨j∣mitAij=⟨i∣A∣j⟩A=\sum\limits_{ij} A_{ij} \mid i\rangle \langle j\mid mit A_{ij}=\langle i \mid A \mid j\rangle

    Wie könnte ich jetzt die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren in dieser neuen Basis finden. Ich tue mir grade etwas schwer das tatsächlich hinzuschreiben. Wie würde das charakteristische Polynom denn in diesem Fall aussehen?

    Danke und LG!

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  • K

    Hi,

    inovatoor schrieb:

    Wie könnte ich jetzt die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren in dieser neuen Basis finden. Ich tue mir grade etwas schwer das tatsächlich hinzuschreiben.

    ich verstehe nicht so recht was du vorhast.

    Möchtest du die Eigenvektoren der gegebenen Matrix finden, diese als neue Basis wählen und dann die Matrix entsprechend transformieren?

    Gruß,
    Klaus.

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  • I

    Ich bin mir erhlich gesagt gerade nicht mehr so sicher wie der Fragesteller seine Aufgabe gemeint hat und werde jetzt einfach "drauf los raten"^^ und die Eigenwerte und Vektoren in meiner Matrix A berechnen in der Basis in der sie dargestellt ist.

    Dennoch danke für die Antwort Klaus 😉

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  • K

    inovatoor schrieb:

    Ich bin mir erhlich gesagt gerade nicht mehr so sicher wie der Fragesteller seine Aufgabe gemeint hat und werde jetzt einfach "drauf los raten"^^ und die Eigenwerte und Vektoren in meiner Matrix A berechnen in der Basis in der sie dargestellt ist.

    Okay,
    einer der ersten google Links erklärt das ähnlich.

    Du berechnest deine Eigenvektoren und bastelst dir damit deine Transformationsmatrizen, um auf Diagonalgestalt zu kommen.

    Gruß,
    Klaus.

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  • I

    Der Link ist in der Tat ganz gut, mal den Spektralsatz an einem Beispiel ausführlich erklärt zu sehen.

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