Kleines Problem im Komplexen

[Jockelx]

@Schlangenmensch sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Er sagt, dass die Abbildung eindeutig sein muss.

Ja, das habe ich auch so verstanden. Ich wollte wissen, wo das bei komplexen Funktionen anders sein soll.

[biter]

Toll, eine Antwort vom Spezialisten !!
Gilt im Komplexen nicht immer: $(ab)^x = a^x \cdot b^x ?$
auch für $x = \frac{1}{2}$ und a = -1 und b = -1 ?
Im reellen ist es nicht definiert.

Es stimmt: "Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allgemeinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform gegeben ist".

[*john 0]

@Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Mmmh? Keine Ahnung, was du meinen könntest, aber so ist der Satz sicherlich falsch. Sag mal ein Stichwort, worauf du hinaus wolltest.

Ein Funktion muss eine eindeutig Abbildung definieren. In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert, und es gibt bei einigen nicht mehr nur „eine Lösung“ sondern mehrere. Allerdings nicht dadurch, dass die Funktion mehrdeutig abbilden würde, sondern die zu Grunde liegende Gleichung liefern mehrere Lösungen. Wenn man hier schlampig formuliert kann es da schnell zu Problemen kommen. Da wollte ich vorbauen.

Dann gibt es noch den Bereich der Distributionen. Die bekannteste dürfte die Dirac-„Funktion“ sein, diese bildet dann auf „unendlich viele Werte“ ab. Simpel formuliert das Ding ist infinitesimal schmal, unendlich hoch und das Integral darüber ist als $1$ definiert. Wie der Name Dirac-„Funktion“ nahelegt, wird sie in der Physik sehr häufig benutzt. Paul Dirac war ein sehr bekannter theoretischer Physiker, der die Quantenmechanik mit begründet hat.

[Jockelx]

@john-0 sagte in Kleines Problem im Komplexen:

. In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert

Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

[*john 0]

@Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

Schau Dir bitte die komplexe Logarithmusfunktion an.

[Jockelx]

@john-0 Ich kann mir das nur so erklären, dass wir irgendwo falsch abgebogen sind und zu 100% aneinander vorbei reden.
Du sagst alle Funktionen haben die Eigenschaft xy (hier: sind nur auf Intervallen definiert), ich sage das ist Unsinn und du "beweist" das, indem du mich aufforderst Funktion abc anzugucken!?
Und der komplexe Logarithmus macht die Aussage "im komplexen darf eine Funktion mehrere Werte zurückgeben" ungefähr genauso "richtig", wie "im reelen darf eine Funktion mehrere Werte zurückgeben - siehe Stammfunktion".

[firefly]

@Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

@john-0 sagte in Kleines Problem im Komplexen:

. In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert

Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

Öhm eventuell verstehe ich das auch falsch. john-0 hat das wort "durchaus" verwendet.
Ich würde das jetzt so interpretieren dass damit gemeint ist das funktionen auf Intervallen definiert ist aber das es nicht für alle funktionen gilt

[Jockelx]

@firefly sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Ich würde das jetzt so interpretieren dass damit gemeint ist das funktionen auf Intervallen definiert ist aber das es nicht für alle funktionen gilt

Na ja, das wäre ja eine total spannende Aussage
Ungefähr so spannend wie "eine Funktion kann im komplexen konstant sein"...nee, schlechtes Beispiel, diese Aussage ist im komplexen sogar tatsächlich sehr spannend.
Fällt gerade kein Beispiel ein, aber du weisst was ich meine.

[*john 0]

@Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Du sagst alle Funktionen …

Bei einigen Funktionen …

[biter]

Würde mich doch noch interessieren, unter welchen Voraussetzungen gilt im Komplexen:

$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$

[Schlangenmensch]

@biter Das gilt, wenn x eine ganze Zahl ist.

[biter]

$\sqrt(25+0i) = \sqrt(12.5+0i) \cdot \sqrt(2+0i)$ hier $x = \frac{1}{2}$
Rationale Zahlen auch ? Beim Komplexen gibt es wie john 0 schon sagte, andere Rechenregeln.

[Schlangenmensch]

@biter Die Frage war, für welche Vorraussetzung das im Komplexen gilt

$a,b\in \mathbb{C} \land n\in \mathbb{Z}: a^n b^n = (ab)^n$

Was soll eine Rationale Zahl sein? Der Exponent? Dann nein, sonst kommen wir zu dem Widerspruch von dir aus dem ersten Post

[biter]

Ja der Exponent. $\sqrt{(12.5+0i) \cdot (2+0i}) = \sqrt{12.5+0i} \cdot \sqrt{2+0i}$ gilt. aber
$\sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$ nicht. Also was für Vorraussetzungen ?

[Schlangenmensch]

@biter Da die reellen Zahlen eine Teilmenge der Komplexen Zahlen sind, findest du Elemente aus den komplexem Zahlen für die die Rechenregeln der reellen Zahlen gelten. Aber, mathematische Regeln müssen allgemeingültig sein.

Ansonsten würde ich dir empfehlen "Potenzgesetze" zu Googeln, dann kommt man für reelle Basen ganz schnell hier hin: https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

[biter]

Für relle Zahlen a, b > 0 gilt $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$. Ich möchte wissen. unter welchen Voraussetzungen es für Zahlen im Komplexen gilt. zB: wenn die komplexen Zahlen rell sind klar, aber wenn sie beliebig komplex sind, was für Voraussetzungen ? zB wie Du gesagt hast, wenn der Exponent eine ganze Zahl ist. Habe im Internet schon gesucht. Jetzt habe ich versäumt, zu sagen, dass ich eine Formel im Sinne von "genau dann wenn" suche. Sorry !!

[Schlangenmensch]

@biter Wenn die Basis aus den Komplexen Zahlen ist, dann ist die Vorraussetzung das der Exponent eine ganze Zahl ist. Das hatten wir doch schon

[biter]

Ja Ok, bin ein wenig durcheinander, frage mich, ob ich überhaupt forum-tauglich bin. Habe mich auch noch gar nicht intensiv mit komplexen Zahlen beschäftigt, nur ein kleiner Abstecher.

[Martin Richter]

$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$.
Gilt auch im komplexen Raum.
a und b seien komplex. x sei aus N0.

Vollständige Induktion
n:0
$(a \cdot b)^0 = a^0 \cdot b^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

n:1
$(a \cdot b)^1 = a^1 \cdot b^1 = a \cdot b$

Schritt n auf n+1
$(a \cdot b)^{(n+1)} = (a \cdot b)^n \cdot (a \cdot b) = a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$.

[Finnegan]

@Martin-Richter sagte in Kleines Problem im Komplexen:

Schritt n auf n+1
$(a \cdot b)^{(n+1)} = (a \cdot b)^n \cdot (a \cdot b) = a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$.

Kleine Ergänzug, die mir gerade aufgefallen ist: Das entscheidende ist hier meines erachtens, dass man mit $a^n \cdot b^n \cdot a \cdot b = a^n \cdot a \cdot b^n \cdot b = a^{n+1} \cdot b^{n+1}$ die Reihenfolge der Multiplikation vertauschen kann. Daher würde ich die Aussage sogar so erweitern, dass die Regel nicht nur für $(\mathbb{C}, \cdot)$, sondern für alle kommutativen Gruppen gilt.

Auch wenn man diese Regel z.B. für die Addition etwas anders schreibt: $\sum_{i=1} ^{n} (a + b) = \sum_{i=1} ^{n} a + \sum_{i=1} ^{n} b$, so lässt sie sich dennoch analog beweisen - oder den Beweis gleich etwas allgemeiner über eine beliebige kommutative Gruppe formulieren.

Das sollte die Frage "unter welchen Voraussetzungen es gilt" eigentlich recht präzise beantworten - zumindest für nicht-negative, ganzzahlige Potenzen, bzw. hintereinander ausgeführte Operationen .